代数学I (芝浦工業大学)

• 中間試験40％、 期末試験60％. 出席等は考慮しない.

• 第1回(9/20): 群の導入、群と部分群の定義、 3次対称群と3次2面体群の同型.
• 第2回(9/27): 群と部分群の定義補足、部分群であることの判定、群の準同型、群の同型、n次対称群とn次2面体群およびそれらの部分群.
• 第3回(10/4): 準同型写像の性質、加法群ℂ、 ℝ、 ℚ、ℤ. 乗法群ℂ^×、 ℝ^×、ℝ^×_>0、 ℚ^×、ℚ^×_>0、{1, -1}. 絶対値が乗法群の群準同型写像であること. 1次元トーラス. 加法群ℝと乗法群ℝ^×_>0の同型. 行列のなす群GL_n、SL_n. 行列式が群準同型であること. 右単位元と左逆元を持つが群にはならない例. 対称群の巡回置換.
• 第4回(10/11): 巡回置換の基本性質、任意の対称群の元がどの2つも互いに素な巡回置換の積として書けることとその方法、任意の対称群の元が隣接互換の積として書けることとあみだくじ表示との関係、一般論で構成される部分群の例(自明な部分群、部分集合の生成する部分群)、群の元の位数およびその解釈、巡回群とその生成元.
• 第5回(10/18): 巡回群の部分群が巡回群であること、中心化群・正規化群とその基本性質、正規部分群、一般線型群の中心が単位行列の定数倍であること.
• 第6回(10/25): 正規部分群とその例、単純群、群準同型の像と核およびその例、核は正規部分群であること(+その逆も言えること(準同型定理の予告))、内部自己同型、内部自己同型群、群からその内部自己同型群への自然な射の核が群の中心であること.
• 第7回(11/8): 中間テスト [ 問題(PDF) ].
• 第8回(11/15): n次2面体群における計算の復習(中間試験問4解説)、同値関係の一般論(同値関係の定義、同値類、商集合、代表元、完全代表系)とその例、左・右合同、左・右剰余類、指数、Lagrangeの定理.
• 第9回(11/29): 左・右剰余類および商集合の例、Lagrangeの定理の応用、左剰余類と右剰余類の違い、正規部分群再解釈、剰余群、射影.
• 第10回(12/06): 中間試験講評(プリントを配布しました. 結果のデータが記載されているので、ホームページでアップロードはしませんが、欠席して受け取れなかったという方はメールをしてください.)、群の半直積、群準同型の全射・単射、全単射群準同型と群同型の同値性、準同型定理とその例.
• 第11回(12/13): 準同型定理の例、射影特殊線型群、群の直積、中国剰余定理の特別な例、交換子群.
• 第12回(12/20): 交換子群列、可解群、可解性が部分群・剰余群に引き継がれること、群作用の基本事項(作用の定義、軌道、固定部分群、推移的、効果的、G/G_x≅ G.x)、共役類.
• 第13回(1/10):　期末テスト予告問題2解説、交代群.
• 第14回(1/17):　期末テスト [ 問題(PDF) ].

• 巡回置換について(PDF, 2018/10/11更新)
• 中間テスト予告問題+ 解答例(PDF, 2018/10/23更新) ※問題4で3箇所ℂがありましたが正しくはℝです. その点のみ修正いたしました.
• 中間テスト問題4解答例(PDF, 2018/11/8更新)
• 交換子群について(PDF, 2018/12/20更新)
• 代数学I 期末テスト予告問題+ 解答例(PDF, 2019/1/10更新) ※軽微な誤植修正および群作用と共役類についてまとめた付録の追加を行いました.
• 代数学I 期末テスト問題3, 4解答例(PDF, 2019/1/17更新)

• レポート課題(PDF, 2018/11/15更新)